Ответ - нет, чужой компьютер не должен быть виден в сетевом окружении.
Дело в том, что протокол Netbios, который публикует всякие виндовс-папки и компьютеры работает внутри локальной сети. Чтобы он мог работать в маршрутизируемой сети необходимо использовать разные ухищрения. В частности сервер WINS.
"Невидимость" в сетевом окружении не говорит о том, что связи нет. Ее нет лишь по одному из возможных протоколов - Netbios. В то время как TCP/IP вполне может и работать. Когда вы говорите о портах, то это термин протокола TCP (UDP).
У нас есть возможность включить сервер WINS, но я не думаю, что это нужно делать - так как этот Netbios вообще сложный и мудреный протокол. C ним можно разбираться тогда, когда уверенно работает TCP/IP и есть понимание работы всей схемы. Чуть более подробно о WINS можно почитать здесь
vpnki.ru/settings/apps/wins-server
Теперь насчет игры. Я не знаю о какой игре идет речь, но нужно знать как эта игра работает в сетевом варианте. Скорее всего, это все же TCP/IP, а не Netbios. Если так, то вам необходимо убедиться в том, что:
1. Пинги со страницы Инструменты проходят до ваших компьютеров
2. Пинги проходят между компьютерами
3. Затем уже пытаться что-то сделать с игрой
Именно в такой последовательности.